4. După ieftinirea de preț cu 10%, prețul unei tablete a devenit 900 lei. Înainte de ieftinirea de preț, tableta costa:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu p prețul inițial al tabletei. După o ieftinire cu 10% se plătește 100% − 10% = 90% din p.
Pasul 2. Rezultă 90% · p = 900, adică 0,9 · p = 900.
Pasul 3.p = 900 : 0,9 = 1000 lei.
Pasul 4. (Verificare: 10% din 1000 = 100, iar 1000 − 100 = 900 ✓. Atenție: 990 s-ar obține greșit adăugând 10% la 900.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 1000 lei.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Andrei, Bianca, Carla și Dan, calculează media geometrică a numerelor a = 3√6 și b = 2√6 și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor.
Andrei
Bianca
Carla
Dan
6√6
√6
12
6
Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media geometrică a numerelor a și b este √a · b.
Pasul 5. (Verificare prin ridicare la pătrat: (6√6)² = 216, (√6)² = 6, 12² = 144, 6² = 36; doar Dan are pătratul egal cu 36.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) Dan.
5pExercițiul 6
6. La un test de matematică, notele obținute de elevii unei clase sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Nota
3
4
5
6
7
8
9
10
Număr elevi
0
2
3
7
7
3
4
2
Cristi afirmă: „Numai șase elevi au obținut la acest test note cel puțin egale cu 8.” Afirmația lui Cristi este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. „Note cel puțin egale cu 8” înseamnă notele 8, 9 și 10.
Pasul 2. Numărul de elevi: 3 (nota 8) + 4 (nota 9) + 2 (nota 10) = 9 elevi.
Pasul 3. Cristi spune că sunt numai 6 elevi, dar sunt 9, deci afirmația este falsă.
Pasul 4. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. Punctele A, B, C, D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 6 cm, BC = 9 cm, iar AB ≡ CD. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv CD. Lungimea segmentului MN este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.AB ≡ CD înseamnă CD = AB = 6 cm.
Pasul 2.M este mijlocul lui AB: MB = 6 : 2 = 3 cm. N este mijlocul lui CD: CN = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 3. Punctele M, B, C, N sunt în această ordine pe dreaptă, deci MN = MB + BC + CN = 3 + 9 + 3 = 15 cm.
Pasul 4. (Verificare cu coordonate: A = 0, B = 6, C = 15, D = 21; M = 3, N = 18, deci MN = 18 − 3 = 15 ✓. Varianta d) 21 cm este lungimea lui AD.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) 15 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, ∡AOB este ascuțit, OB ⊥ OC și OD ⊥ OA. Dacă măsura ∡AOB = 36°, atunci măsura ∡COD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură, în jurul punctului O razele sunt în ordinea OD, OA, OB, OC, iar unghiurile ∡DOA, ∡AOB, ∡BOC și ∡COD acoperă tot unghiul complet de 360°.
Pasul 2.OD ⊥ OA ⇒ ∡DOA = 90°. OB ⊥ OC ⇒ ∡BOC = 90°. Se știe ∡AOB = 36°.
Pasul 2. Unghiurile înscrise ∡DAC și ∡DBC subîntind același arc mic DC (punctele A și B sunt de aceeași parte a coardei DC), deci sunt congruente.
Pasul 3. ∡DAC = ∡DBC = 60°.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 60°.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD. Dacă BD ⊥ AD, AD = 5 cm și BD = 12 cm, atunci perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.BD ⊥ AD, deci triunghiul ABD este dreptunghic în D, cu ipotenuza AB.
Pasul 2. Teorema lui Pitagora: AB² = AD² + BD² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, deci AB = 13 cm.
Pasul 3. Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale: BC = AD = 5 cm și CD = AB = 13 cm.
Pasul 4. Perimetrul: 2 · (AB + AD) = 2 · (13 + 5) = 36 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 36 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat DABC. Dacă AB = 6 cm, atunci aria triunghiului DBC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-un tetraedru regulat toate muchiile sunt egale, deci toate fețele sunt triunghiuri echilaterale cu latura 6 cm; în particular DBC este echilateral cu latura 6 cm.
Pasul 2. Aria unui triunghi echilateral cu latura l este l²√3 : 4.
Pasul 3. Aria = 6² · √3 : 4 = 36√3 : 4 = 9√3 cm².
Pasul 4. (Verificare cu înălțimea: h = 6√3 : 2 = 3√3 cm, deci aria = 6 · 3√3 : 2 = 9√3 cm² ✓.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 9√3 cm².
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.