Pasul 4. Numărul n este pătratul lui 2024, adică un pătrat perfect, deci afirmația este adevărată.
Pasul 5. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctele A, B, C, D sunt coliniare. Dacă B este mijlocul segmentului AD, iar C este mijlocul segmentului BD și AC = 12 cm, atunci lungimea segmentului AD este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm BD = x. Cum B este mijlocul lui AD, avem AB = BD = x, deci AD = 2x.
Pasul 2. Cum C este mijlocul lui BD, avem BC = CD = x2.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AC = AB + BC = x + x2 = 3x2.
Pasul 4. Din AC = 12 obținem 3x2 = 12, deci x = 8 cm.
Pasul 5.AD = 2x = 16 cm.
Pasul 6. (Verificare: A = 0, B = 8, C = 12, D = 16; AC = 12 ✓.)
Pasul 7. Răspuns corect: b) 16 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, punctele A, O, B sunt coliniare, iar ∡AOC = 70°, ∡BOD = 38°. Dacă OM este bisectoarea ∡COD, atunci ∡BOM are măsura de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele A, O, B sunt coliniare, deci unghiul alungit AOB are 180°: ∡AOC + ∡COD + ∡DOB = 180°.
Pasul 2. Rezultă ∡COD = 180° − 70° − 38° = 72°.
Pasul 3.OM este bisectoarea unghiului COD, deci ∡DOM = 72° : 2 = 36°.
Pasul 4.M este în interiorul unghiului COD, iar D este între M și B: ∡BOM = ∡BOD + ∡DOM = 38° + 36° = 74°.
3. În figura alăturată, ΔABC este isoscel, cu AB = AC și BC = 18 cm. Punctul D este simetricul lui A față de BC, punctul M este mijlocul lui AB, iar BC ∩ DM = {P}. Lungimea segmentului CP este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fie O intersecția dreptelor AD și BC. Cum D este simetricul lui A față de BC, AD ⊥ BC și O este mijlocul lui AD. În triunghiul isoscel, înălțimea AO este și mediană: O este mijlocul lui BC, deci BO = OC = 9 cm.
Pasul 2. În triunghiul ABD, BO este mediană (O este mijlocul lui AD) și DM este mediană (M este mijlocul lui AB). Ele se intersectează în P, deci P este centrul de greutate al triunghiului ABD.
Pasul 3. Centrul de greutate se află pe mediană la o treime de bază: OP = BO : 3 = 9 : 3 = 3 cm, iar BP = 2 · 3 = 6 cm.
Pasul 4.P se află între B și O, deci CP = CO + OP = 9 + 3 = 12 cm.
Pasul 5. (Verificare cu coordonate: B(−9; 0), C(9; 0), A(0; h), D(0; −h), M(−4,5; h2); dreapta DM taie axa Ox în P(−3; 0), iar CP = 9 − (−3) = 12 ✓.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 12 cm.
5pExercițiul 4
4. Paralelogramul ABCD din figura alăturată are BC = 12 cm și lungimea distanței de la A la BC egală cu 4 cm. Punctul P ∈ BC, astfel încât BP = 2PC. Aria triunghiului ABP este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.BP + PC = BC = 12 cm și BP = 2PC, deci 3PC = 12, adică PC = 4 cm și BP = 8 cm.
Pasul 2. Triunghiul ABP are baza BP pe dreapta BC, iar înălțimea din A este distanța de la A la BC, adică 4 cm.
Pasul 4. (Aria întregului paralelogram ar fi 12 · 4 = 48 cm²; varianta a) este aria paralelogramului, nu a triunghiului.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 16 cm².
5pExercițiul 5
5. Triunghiul ABC este înscris într-un cerc de centru O. Știind că ∡A = 56°, iar ∡C = 38°, atunci măsura ∡AOC este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Suma unghiurilor în triunghiul ABC este 180°: ∡B = 180° − 56° − 38° = 86°.
Pasul 2. Unghiul ABC este unghi înscris în cerc și subîntinde arcul mic AC; unghiul la centru AOC subîntinde același arc.
Pasul 3. Măsura unghiului la centru este dublul măsurii unghiului înscris: ∡AOC = 2 · ∡B = 2 · 86° = 172°.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 172°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată, VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile de 6 cm. Dacă M, N sunt mijloacele muchiilor BC, respectiv AD, atunci perimetrul ΔVMN este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale cu latura 6 cm. VM este mediană (deci și înălțime) în triunghiul echilateral VBC: VM = 6√3 : 2 = 3√3 cm.
Pasul 2. La fel, în triunghiul echilateral VAD: VN = 3√3 cm.
Pasul 3.MN unește mijloacele laturilor opuse BC și AD ale pătratului ABCD, deci MN = AB = 6 cm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
