Pasul 3. Ordonat descrescător după puterile lui x: x² + 4x + 4.
Pasul 4. (Varianta a) uită termenul din mijloc, varianta b) are 2x în loc de 4x, iar d) este dezvoltarea lui (2 − x)².)
Pasul 5. Răspuns corect: c) x² + 4x + 4.
5pExercițiul 4
4. Diferența dintre opusul numărului 2 și inversul numărului 12 este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Opusul numărului 2 este −2.
Pasul 2. Inversul numărului 12 este 21 = 2 (inversul lui ab este ba).
Pasul 3. Diferența: (−2) − 2 = −4.
Pasul 4. Răspuns corect: c) −4.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi calculează produsul numerelor −2√2, −3√6 și √12 și obțin rezultatele înregistrate în tabelul alăturat.
Cristi
Delia
Maria
Bogdan
−72
−6√12
6√12
72
Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect produsul celor trei numere este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Produsul: (−2√2) · (−3√6) · √12. Produsul a două numere negative este pozitiv: (−2) · (−3) = 6.
Pasul 2. Înmulțim radicalii: √2 · √6 = √12, deci primii doi factori dau 6√12.
Pasul 3. Înmulțim cu al treilea factor: 6√12 · √12 = 6 · 12 = 72.
Pasul 4. Valoarea 72 apare în tabel la Bogdan.
Pasul 5. Răspuns corect: d) Bogdan.
5pExercițiul 6
6. O lucrare este finalizată de 8 muncitori în 6 ore. Mihai afirmă că 4 muncitori vor termina aceeași lucrare în 3 ore. Afirmația lui Mihai este: Se presupune că muncitorii au aceeași productivitate și lucrează simultan, în aceleași condiții.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Mărimile „număr de muncitori” și „timp” sunt invers proporționale: dacă numărul muncitorilor scade, timpul crește.
Pasul 3. Cu 4 muncitori timpul este 48 : 4 = 12 ore (de două ori mai mult), nu 3 ore.
Pasul 4. Afirmația lui Mihai este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B, C, D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 6 cm, B este mijlocul segmentului AC și punctul D este simetricul lui A față de punctul C. Lungimea segmentului AD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.B este mijlocul lui AC, deci AC = 2 · AB = 2 · 6 = 12 cm.
Pasul 2.D este simetricul lui A față de C, adică C este mijlocul lui AD.
Pasul 3. Rezultă AD = 2 · AC = 2 · 12 = 24 cm.
Pasul 4. (Verificare cu coordonate: A = 0, B = 6, C = 12, D = 24 ✓.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) 24 cm.
5pExercițiul 2
2. Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente și suplimentare. Dacă semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOB și m(∡MOB) = 50°, atunci măsura unghiului BOC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.OM este bisectoarea unghiului AOB, deci ∡AOB = 2 · ∡MOB = 2 · 50° = 100°.
Pasul 2. Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente și suplimentare, deci suma măsurilor lor este 180° (punctele A, O, C sunt coliniare).
Pasul 3. ∡BOC = 180° − 100° = 80°.
Pasul 4. (Varianta a) 100° este măsura unghiului AOB, nu a lui BOC.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 80°.
5pExercițiul 3
3. În triunghiul ABC avem m(∡A) = 90°, m(∡B) = 60°, AC = 6 cm. Atunci aria triunghiului ABC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu ∠B = 60° și ∠C = 30°.
Pasul 2. AC = AB√3, deci AB = 6√3 = 2√3 cm.
Pasul 3. Aria este AB · AC2 = 2√3 · 62 = 6√3 cm².
Pasul 4. Răspuns corect: b) 6√3 cm².
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată sunt reprezentate pătratul ABCD și triunghiul echilateral CMN, unde M aparține segmentului AB, iar N se află pe prelungirea acestuia dincolo de B. Dacă MC = 4 cm, atunci aria pătratului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul CMN este echilateral cu latura 4 cm (MC = CN = MN = 4 cm).
Pasul 2.CB ⊥ AB (ABCD este pătrat), deci CB este înălțime în triunghiul echilateral CMN.
Pasul 3. Înălțimea unui triunghi echilateral cu latura 4 cm este 4√3 : 2 = 2√3 cm. Deci latura pătratului este BC = 2√3 cm.
Pasul 5. (Verificare cu Pitagora în triunghiul MBC: MB = 2, BC² = 4² − 2² = 12 ✓.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 12 cm².
5pExercițiul 5
5. Punctele A, B și C sunt situate pe un cerc de centru O, astfel încât punctele A și B sunt diametral opuse și măsura arcului mic AC este egală cu 80°. Dacă punctul D este piciorul perpendicularei din C pe AB, atunci măsura unghiului ACD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.AB este diametru, deci unghiul înscris ACB este de 90° (subîntinde semicercul), iar triunghiul ABC este dreptunghic în C.
Pasul 2. Unghiul înscris ABC subîntinde arcul mic AC de 80°, deci ∡ABC = 80° : 2 = 40°.
Pasul 3.CD ⊥ AB, deci în triunghiul ACD (dreptunghic în D): ∡ACD = 90° − ∡CAD. Iar ∡CAD = ∡CAB = 90° − ∡ABC = 90° − 40° = 50°.
Pasul 4. ∡ACD = 90° − 50° = 40°.
Pasul 5. (Altfel: în triunghiul dreptunghic ACB, înălțimea CD împarte unghiul drept în ∡ACD = ∡ABC = 40° și ∡DCB = ∡CAB = 50°.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 40°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este o cutie în formă de prismă triunghiulară regulată dreaptă ABCA′B′C′. Dacă AA′ = 20 cm și triunghiul ABC are aria egală cu 36√3 cm², atunci suma lungimilor tuturor muchiilor cutiei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Baza ABC este triunghi echilateral cu latura l. Aria: l²√3 : 4 = 36√3.
Pasul 2. De aici l² = 36 · 4 = 144, deci l = 12 cm.
Pasul 3. Prisma are 9 muchii: 6 muchii ale bazelor (3 + 3), fiecare de 12 cm, și 3 muchii laterale, fiecare de 20 cm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.