Pasul 1. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi calculăm în paranteză, începând cu împărțirea.
Pasul 2. Împărțirea: 6 : 2 = 3, deci paranteza devine 12 − 3 = 9.
Pasul 3. Înmulțirea: 3 · 9 = 27.
Pasul 4. Scăderea: 27 − 27 = 0.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 0.
5pExercițiul 2
2. Știind că ab = c3, b · c = 24 și b ≠ 0, valoarea numărului a este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din proporția ab = c3, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: a · 3 = b · c.
Pasul 2. Cunoaștem b · c = 24, deci 3a = 24.
Pasul 3. Împărțim la 3: a = 24 : 3 = 8.
Pasul 4. (Verificare: de exemplu b = 4, c = 6: 84 = 2 și 63 = 2 ✓, iar 4 · 6 = 24 ✓.)
Pasul 5. Răspuns corect: d) 8.
5pExercițiul 3
3. Se consideră mulțimea A = {x ∈ ℕ | 3 < x ≤ 7}. Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii A prin enumerarea elementelor sale este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Căutăm numerele naturale x cu 3 < x ≤ 7.
Pasul 2. 3 < x (inegalitate strictă) înseamnă că 3 nu face parte din mulțime; cel mai mic element este 4.
Pasul 3.x ≤ 7 (inegalitate nestrictă) înseamnă că 7 face parte din mulțime.
Pasul 4. Deci A = {4, 5, 6, 7}.
Pasul 5. Răspuns corect: b) {4, 5, 6, 7}.
5pExercițiul 4
4. Suma numerelor întregi negative din intervalul (−6; 3] este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intervalul (−6; 3] conține numerele întregi de la −5 până la 3 (−6 nu aparține intervalului, 3 aparține).
Pasul 2. Numerele întregi negative din interval sunt: −5, −4, −3, −2, −1.
Pasul 5. (Verificare: la Alexandru (4√5)² = 80 ≠ 75; la Maria (8√10)² = 640 ≠ 75; la Robert (4√3)² = 48 ≠ 75.)
Pasul 6. Răspuns corect: a) Cristina.
5pExercițiul 6
6. Elevii unei clase au obținut la un test notele prezentate în tabelul de mai jos:
Nota
4
5
6
7
8
9
10
Număr elevi
2
5
4
7
5
4
3
Andreea afirmă că „numărul elevilor care au obținut note mai mari decât 8 este egal cu 12”. Afirmația făcută de Andreea este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notele mai mari decât 8 sunt doar 9 și 10 (nota 8 nu este „mai mare decât 8”).
Pasul 2. Elevi cu nota 9: 4; elevi cu nota 10: 3. Total: 4 + 3 = 7 elevi.
Pasul 3. Afirmația spune 12, dar sunt 7 elevi, deci afirmația este falsă.
Pasul 4. (Numărul 12 = 5 + 4 + 3 s-ar obține pentru notele cel puțin 8, adică 8, 9 și 10.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, A, B, C și D sunt puncte coliniare, în această ordine, astfel încât AC = 6 cm și BD = 12 cm. Punctul B este mijlocul segmentului AC. Lungimea segmentului CD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.B este mijlocul lui AC, deci AB = BC = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 2. Punctele B, C, D sunt în această ordine pe dreaptă, deci BD = BC + CD.
Pasul 3. Înlocuim: 12 = 3 + CD, de unde CD = 12 − 3 = 9 cm.
Pasul 4. (Verificare cu coordonate: A = 0, B = 3, C = 6, D = 15; BD = 15 − 3 = 12 ✓ și CD = 15 − 6 = 9.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) 9 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctul I este punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor acestui triunghi. Știind că măsura unghiului BIC este egală cu 110°, atunci măsura unghiului CAI este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.I este intersecția bisectoarelor, deci BI și CI sunt bisectoare: ∡IBC = ∡B : 2 și ∡ICB = ∡C : 2.
Pasul 5.AI este bisectoarea unghiului A, deci ∡CAI = 40° : 2 = 20°.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 20°.
5pExercițiul 3
3. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A și punctul G, centrul de greutate al triunghiului. Dacă AB = 6 cm și măsura unghiului ACB este de 30°, atunci lungimea segmentului AG este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic ABC (∡A = 90°), cateta AB se opune unghiului de 30°, deci AB = BC : 2 (teorema unghiului de 30°).
Pasul 2. Ipotenuza: BC = 2 · 6 = 12 cm.
Pasul 3. Fie M mijlocul lui BC. În triunghiul dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: AM = 12 : 2 = 6 cm.
Pasul 4. Centrul de greutate se află pe mediană la două treimi de vârf: AG = (23) · AM = (23) · 6 = 4 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 4 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată ABCD este un dreptunghi, punctul E este mijlocul segmentului AD, iar punctul F este intersecția dreptelor AC și BE. Raportul dintre aria triunghiului AEF și aria dreptunghiului ABCD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm AB = a și AD = b. Aria dreptunghiului este ab. Cum E este mijlocul lui AD, AE = b2.
Pasul 2. Aria triunghiului ABE (dreptunghic în A): a · (b2) : 2 = ab4.
Pasul 3. Dreptele AE și BC sunt paralele, deci triunghiurile AEF și CBF sunt asemenea, cu raportul AEBC = 12. Rezultă EFFB = 12, adică EF = EB3.
Pasul 4. Triunghiurile AEF și ABE au aceeași înălțime din A pe dreapta BE, deci ariile lor sunt proporționale cu bazele: Aria(AEF) = (13) · Aria(ABE) = (13) · ab4 = ab12.
5. Punctele A și B sunt situate pe un cerc de centru O, astfel încât lungimea segmentului AB este de 3√2 cm și măsura arcului mic AB este de 90°. Lungimea acestui cerc este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Arcul mic AB are 90°, deci unghiul la centru ∡AOB = 90°.
Pasul 2. Triunghiul AOB este dreptunghic isoscel (OA = OB = R), iar ipotenuza este AB = R√2.
Pasul 3. Egalăm: R√2 = 3√2, deci R = 3 cm.
Pasul 4. Lungimea cercului: 2πR = 2π · 3 = 6π cm.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 6π cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD, cu baza pătratul ABCD. Dacă triunghiul VAC este echilateral și BC = 2√2 cm, atunci suma lungimilor muchiilor laterale ale piramidei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Baza ABCD este pătrat cu latura 2√2 cm, deci diagonala AC = 2√2 · √2 = 4 cm.
Pasul 2. Triunghiul VAC este echilateral, deci VA = VC = AC = 4 cm.
Pasul 3. Piramida este regulată, deci toate cele patru muchii laterale sunt egale: VA = VB = VC = VD = 4 cm.
Pasul 4. Suma muchiilor laterale: 4 · 4 = 16 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 16 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
