5. Patru elevi, Andrei, Luca, Matei și Șerban, calculează media aritmetică a numerelor a = |2√3 − 3√2| și b = |2√3 + 3√2|. Rezultatele calculelor făcute sunt evidențiate în tabelul de mai jos.
Andrei
Luca
Matei
Șerban
4√3
2√3
6√2
3√2
Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media aritmetică este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Comparăm 2√3 și 3√2: 2√3 = √12 ≈ 3,46, iar 3√2 = √18 ≈ 4,24. Deci 2√3 − 3√2 < 0.
Pasul 2.a = |2√3 − 3√2| = 3√2 − 2√3.
Pasul 3.b = 2√3 + 3√2 (expresia dintre module este pozitivă).
Pasul 4.a + b = 3√2 − 2√3 + 2√3 + 3√2 = 6√2.
Pasul 5. Media aritmetică = 6√2 : 2 = 3√2.
Pasul 6. Rezultatul 3√2 a fost obținut de Șerban.
Pasul 7. Răspuns corect: d) Șerban.
5pExercițiul 6
6. În diagrama alăturată sunt reprezentate temperaturile înregistrate la ora 12 pe parcursul unei săptămâni. Daniel afirmă că diferența dintre cea mai mare și cea mai mică temperatură este de 0°C. Afirmația lui Daniel este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Citim temperaturile din diagramă: luni 6°C, marți 0°C, miercuri −2°C, joi −6°C, vineri −2°C, sâmbătă −4°C, duminică −2°C.
Pasul 2. Cea mai mare temperatură este 6°C (luni), iar cea mai mică este −6°C (joi).
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctul D este simetricul punctului A față de punctul B, iar punctul C aparține segmentului BD astfel încât BD = 3 · BC = 7,5 cm. Lungimea segmentului AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. D este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul lui AD și AB = BD = 7,5 cm.
Pasul 2. BD = 3 · BC = 7,5 cm ⇒ BC = 7,5 : 3 = 2,5 cm.
Pasul 3. C aparține segmentului BD, deci B este între A și C: AC = AB + BC = 7,5 + 2,5 = 10 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 10 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată punctele A, B și C sunt coliniare, iar punctele D și E se află de o parte și de alta a segmentului AC, astfel încât ∡ABD = 125° și ∡DBE = 150°. Măsura unghiului ABE este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Semidreptele BA, BD, BE sunt în jurul punctului B, iar unghiurile ∡ABD, ∡DBE și ∡EBA acoperă tot unghiul plin: suma lor este 360°.
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, AD este înălțime, iar BE este bisectoarea ∡ABC, AD ∩ BE = {H}. Dacă HE = 2 cm, atunci aria triunghiului ABC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul echilateral ABC, AD este și mediană din A, iar bisectoarea BE coincide cu mediana și înălțimea din B. Medianele AD și BE se intersectează în H, centrul de greutate al triunghiului.
Pasul 2. Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul 2 : 1, de la vârf spre mijlocul laturii opuse: HE = BE : 3 ⇒ BE = 3 · 2 = 6 cm.
Pasul 3. BE este înălțime în triunghiul echilateral de latură l: BE = l√32 = 6 ⇒ l = 12√3 = 4√3 cm.
4. În figura alăturată este reprezentată o livadă în formă de dreptunghi. Punctul M este mijlocul segmentului AD, punctul N este mijlocul segmentului CD, iar P ∈ AB astfel încât AP = 3 · BP, DN = 60 m, iar AM = 30 m. Pe suprafața DMN sunt plantați peri, pe suprafața AMP sunt gutui, pe suprafața MNP sunt meri, iar restul vișini. Suprafața plantată cu meri este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. M este mijlocul lui AD: AD = 2 · AM = 60 m. N este mijlocul lui CD: CD = 2 · DN = 120 m.
Pasul 2. AP = 3 · BP și AP + BP = AB = 120 m ⇒ 4 · BP = 120 ⇒ BP = 30 m, AP = 90 m.
Pasul 5. Restul dreptunghiului este patrulaterul PBCN (trapez dreptunghic cu bazele PB = 30 m și NC = 60 m și înălțimea BC = 60 m): aria lui = (PB + NC) · BC2 = (30 + 60) · 602 = 2700 m2.
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și rază 10 cm. Fie punctul B exterior cercului astfel încât OB = 26 cm și dreptele BA și BC tangente la cerc. Aria patrulaterului ABCO este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Tangenta este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență: OA ⊥ AB, deci triunghiul OAB este dreptunghic în A, cu OA = 10 cm și ipotenuza OB = 26 cm.
Pasul 2. Teorema lui Pitagora: AB2 = OB2 − OA2 = 676 − 100 = 576 ⇒ AB = 24 cm.
Pasul 4. Triunghiurile OAB și OCB sunt congruente (tangentele duse dintr-un punct exterior sunt egale: BA = BC = 24 cm; OA = OC = 10 cm; OB comună), deci aria ABCO = 2 · 120 = 240 cm2.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 240 cm2.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată dreaptă ABCDEFGH cu muchia laterală de 15 cm și aria feței laterale ADHE egală cu 150 cm2. Aria bazei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Prisma este patrulateră regulată: baza este pătrat, deci fețele laterale sunt dreptunghiuri egale. Fața ADHE are dimensiunile AD (latura bazei) și AE = 15 cm (muchia laterală).
Pasul 2. Aria feței = AD · AE = AD · 15 = 150 ⇒ AD = 150 : 15 = 10 cm.
Pasul 3. Baza este pătrat cu latura 10 cm: aria bazei = 10 · 10 = 100 cm2.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 100 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.