Pasul 3. Media geometrică a numerelor pozitive a și b este mg = √a · b = √9 · 2 = √18.
Pasul 4. Scoatem factorii de sub radical: √18 = √9 · 2 = 3√2.
Pasul 5. Valoarea 3√2 a fost obținută de Teodor.
Pasul 6. Răspuns corect: a) Teodor.
5pExercițiul 6
6. Un melc vrea să ajungă în vârful unui stâlp de 3 m înălțime. În timpul zilei urcă 2 m, iar în timpul nopții alunecă în jos un metru. Ioana afirmă: „După două zile melcul ajunge în vârf”. Afirmația Ioanei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ziua 1: melcul urcă 2 m și ajunge la 2 m (încă nu a ajuns la 3 m). În timpul nopții alunecă 1 m și rămâne la 2 − 1 = 1 m.
Pasul 2. Ziua 2: melcul urcă din nou 2 m și ajunge la 1 + 2 = 3 m, adică exact în vârful stâlpului.
Pasul 3. Deci chiar în timpul zilei a doua melcul ajunge în vârf, iar afirmația Ioanei este adevărată.
Pasul 4. Atenție: nu trebuie să scădem și alunecarea din noaptea a doua, pentru că melcul a ajuns deja în vârf.
Pasul 5. Răspuns corect: a) Adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctele A, B, C, D și E sunt coliniare încât B este mijlocul segmentului AC, AC = CD = 4 cm, iar punctul E este simetricul lui A față de D. Valoarea raportului BDAE este egală cu: Punctele A, B, C, D și E sunt situate pe dreaptă în această ordine.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. B este mijlocul lui AC, deci AB = BC = 4 : 2 = 2 cm.
Pasul 2. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, E. Atunci BD = BC + CD = 2 + 4 = 6 cm și AD = AC + CD = 4 + 4 = 8 cm.
Pasul 3. E este simetricul lui A față de D, deci D este mijlocul lui AE: AE = 2 · AD = 2 · 8 = 16 cm.
Pasul 4.BDAE = 616 = 38.
Pasul 5. Observație: baremul oficial indică varianta c) 78, dar 78 = 1416 ar fi raportul BEAE (BE = 2 + 4 + 8 = 14 cm). Pentru raportul cerut, BDAE, valoarea corectă este 38.
Pasul 6. Răspuns corect (după enunț și figură): a) 38.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, punctele A, O și B sunt coliniare, iar semidreapta OD este bisectoarea unghiului ∡AOC. Dacă ∡DOB = 100°, atunci ∡BOC are măsura:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele A, O, B sunt coliniare, deci ∡AOB = 180°. Ordinea semidreptelor este OA, OD, OC, OB.
Pasul 2. OD este bisectoarea lui ∡AOC, deci ∡AOD = ∡DOC. Notăm această măsură cu t; atunci ∡AOC = 2t.
3. În figura alăturată, triunghiul ABC este isoscel, iar D ∈ BC astfel încât AD ≡ BD și ∡ADB = 120°. Dacă lungimea laturii BC = 12 cm, atunci lungimea segmentului AD este egală cu: Laturile egale ale triunghiului isoscel sunt AB și AC.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul ABD avem AD = BD, deci este isoscel, cu ∡ADB = 120°. Atunci ∡DAB = ∡DBA = (180° − 120°) : 2 = 30°.
Pasul 2. Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC (din figură), deci ∡C = ∡B = 30° și ∡BAC = 180° − 30° − 30° = 120°.
Pasul 3. Atunci ∡DAC = ∡BAC − ∡BAD = 120° − 30° = 90°, deci triunghiul ADC este dreptunghic în A, cu ∡C = 30°.
Pasul 4. În triunghiul dreptunghic ADC, cateta AD se opune unghiului de 30°, deci AD = DC2.
Pasul 5. Notăm AD = BD = x. Atunci DC = BC − BD = 12 − x, iar x = (12 − x) : 2 ⇒ 2x = 12 − x ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4.
Pasul 6. Verificare: BD = 4, DC = 8, DC = 2 · AD ✓.
Pasul 7. Răspuns corect: b) 4 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată ABCD este dreptunghi, iar BD = 3BC. Dacă AB = 12 cm, atunci aria dreptunghiului ABCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt egale: CD = AB = 12 cm. Triunghiul BCD este dreptunghic în C.
Pasul 2. Teorema lui Pitagora: BD2 = BC2 + CD2. Cum BD = 3BC: (3BC)2 = BC2 + 122.
Pasul 5. Aria dreptunghiului: A = AB · BC = 12 · 3√2 = 36√2 cm2.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 36√2 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată punctele A, B, C și D aparțin cercului de centru O, astfel încât AB ≡ AC și ∡ACB = 30°. Atunci ∡CDB are măsura: Punctele A și D se află de o parte și de alta a dreptei BC.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. AB ≡ AC, deci triunghiul ABC este isoscel cu baza BC: ∡ABC = ∡ACB = 30°.
Pasul 3. Punctele A și D sunt de o parte și de alta a coardei BC, deci ABDC este patrulater înscris în cerc. Unghiurile opuse ale unui patrulater înscris sunt suplimentare: ∡BAC + ∡BDC = 180°.
Pasul 4. ∡CDB = ∡BDC = 180° − 120° = 60°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 60°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată ABCDA′B′C′D′ este paralelipiped dreptunghic cu AB = BC = 6 cm și AA′ = √14 cm. Perimetrul triunghiului B′AC este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Baza ABCD este pătrat de latură 6 cm, deci diagonala AC = 6√2 cm.
Pasul 2. Triunghiul B′BA este dreptunghic în B: AB′2 = AB2 + BB′2 = 36 + 14 = 50, deci AB′ = √50 = 5√2 cm.
Pasul 3. Analog, în triunghiul B′BC (dreptunghic în B): CB′2 = BC2 + BB′2 = 36 + 14 = 50, deci CB′ = 5√2 cm.
Pasul 4. Perimetrul triunghiului B′AC: P = AC + AB′ + CB′ = 6√2 + 5√2 + 5√2 = 16√2 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 16√2 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.