3. Cel mai mare număr natural din intervalul (23, 94] este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Transformăm capetele în numere zecimale: 23 = 0,666… și 94 = 2,25.
Pasul 2. Intervalul este deschis la stânga (numărul 0,666… nu aparține intervalului) și închis la dreapta (2,25 aparține intervalului).
Pasul 3. Numerele naturale cuprinse între 0,666… și 2,25 sunt 1 și 2.
Pasul 4. Cel mai mare este 2.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 2.
5pExercițiul 4
4. Dacă 2x = 32, atunci 4x este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Observăm că 4x = 2 · 2x, adică dublul lui 2x.
Pasul 2. 4x = 2 · 32 = 62 = 3.
Pasul 3. Verificare: din 2x = 32 obținem x = 34, iar 4 · 34 = 3.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 3.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Alin, Mihai, Ioana și Maria, au calculat produsul numerelor a = 3 + 2√2 și b = 3 − 2√2. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Alin
Mihai
Ioana
Maria
17
6
5
1
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Numerele sunt conjugate: (3 + 2√2) · (3 − 2√2) are forma (x + y)(x − y) = x2 − y2.
Pasul 2. Cu x = 3 și y = 2√2: a · b = 32 − (2√2)2.
Pasul 3. (2√2)2 = 4 · 2 = 8, deci a · b = 9 − 8 = 1.
Pasul 4. Rezultatul 1 a fost obținut de Maria.
Pasul 5. Răspuns corect: d) Maria.
5pExercițiul 6
6. Două pixuri și un caiet costă 20 de lei. Enunțul: „Patru pixuri și două caiete, de același tip, costă 40 de lei.” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Patru pixuri și două caiete reprezintă dublul lui „două pixuri și un caiet”: 4 pixuri = 2 · 2 pixuri, 2 caiete = 2 · 1 caiet.
Pasul 2. Prețul se dublează și el: 2 · 20 = 40 de lei.
Pasul 3. Deci enunțul este adevărat (nu avem nevoie să aflăm prețul unui pix sau al unui caiet).
Pasul 4. Răspuns corect: a) adevărat.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât lungimea segmentului BC este jumătate din lungimea segmentului AB și lungimea segmentului CD este jumătate din lungimea segmentului BC. Dacă BC = 4 cm, atunci lungimea segmentului AD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.BC este jumătate din AB, deci AB = 2 · BC = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 2.CD este jumătate din BC, deci CD = 4 : 2 = 2 cm.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AD = AB + BC + CD = 8 + 4 + 2 = 14 cm.
Pasul 4. (Figura nu este făcută la scară; contează doar informațiile din enunț.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 14 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplimentare AOC și COB. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOC, iar măsura unghiului MOB este egală cu 145°. Măsura unghiului BOC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiurile ∡AOC și ∡COB sunt suplimentare: ∡AOC + ∡COB = 180°.
Pasul 2. Semidreapta OM este bisectoarea lui ∡AOC, deci ∡AOM = ∡MOC. Punctele A, O, B sunt coliniare, deci ∡AOM + ∡MOB = 180°.
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC și măsura unghiului BAC este egală cu 36°. Punctul M aparține laturii AC, astfel încât AM = BM. Măsura unghiului MBC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC, deci ∡B = ∡C = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Pasul 2. Triunghiul AMB este isoscel (AM = BM), deci ∡MBA = ∡MAB = 36°.
Pasul 3. ∡MBC = ∡ABC − ∡ABM = 72° − 36° = 36°.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 36°.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC. Dreptele AM și DC se intersectează în punctul P. Aria triunghiului ABP este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctul P se află pe dreapta DC, iar DC ∥ AB. Deci distanța de la P la dreapta AB este egală cu distanța dintre dreptele paralele DC și AB, adică latura pătratului: 4 cm.
Pasul 2. Triunghiul ABP are baza AB = 4 cm și înălțimea 4 cm (corespunzătoare lui P).
Pasul 3.A = AB · h2 = 4 · 42 = 8 cm2.
Pasul 4. Observație: triunghiurile MBA și MCP sunt congruente (BM = MC, unghiuri drepte, unghiuri opuse la vârf), deci CP = AB = 4 cm, adică DP = 8 cm; rezultatul de mai sus nu depinde însă de poziția exactă a lui P pe dreapta DC.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 8 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru AB. Punctele C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt paralele și măsura unghiului BOC este egală cu 60°. Măsura unghiului BAD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiul la centru ∡BOC = 60°, deci arcul BC are 60°.
Pasul 2. Dreptele AB și CD sunt paralele, deci arcele cuprinse între ele sunt congruente: arcul AD = arcul BC = 60°.
Pasul 3. Semicercul ADCB are 180°, deci arcul DC = 180° − 60° − 60° = 60°, iar arcul DB = 60° + 60° = 120°.
Pasul 4. Unghiul înscris ∡BAD cuprinde arcul BD de 120°, deci măsoară 120° : 2 = 60°.
Pasul 5. Altă variantă: triunghiul AOD are OA = OD = raza și arcul AD de 60°, deci este echilateral, iar unghiul BAD = unghiul OAD = 60°.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 60°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA′B′C′, cu baza triunghiul echilateral ABC, cu AA′ = 3 cm și AB = 4 cm. Lungimea segmentului BC′ este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Prisma este dreaptă, deci muchia laterală CC′ este perpendiculară pe planul bazei, în particular CC′ ⊥ BC. Atunci triunghiul BCC′ este dreptunghic în C.
Pasul 2. Baza ABC este echilaterală, deci BC = AB = 4 cm, iar CC′ = AA′ = 3 cm.
Pasul 3. Teorema lui Pitagora în triunghiul BCC′: BC′2 = BC2 + CC′2 = 16 + 9 = 25.
Pasul 4.BC′ = √25 = 5 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 5 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
