Pasul 1. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi înmulțirile și împărțirile (de la stânga la dreapta), apoi scăderea.
Pasul 2. Primul produs: 4 · 25 = 100.
Pasul 3. Al doilea termen: 4 · 25 : 50 = 100 : 50 = 2.
Pasul 4. Scăderea: 100 − 2 = 98.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 98.
5pExercițiul 2
2. Fie mulțimile A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} și B = {1, 3, 4, 6, 9}. Suma elementelor mulțimii A ∩ B este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intersecția A ∩ B conține elementele care apar în ambele mulțimi.
Pasul 2. Comune sunt: 1, 3, 4 și 6 (numerele 2 și 5 sunt doar în A, iar 9 doar în B). Deci A ∩ B = {1, 3, 4, 6}.
Pasul 3. Suma elementelor: 1 + 3 + 4 + 6 = 14.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 14.
5pExercițiul 3
3. Într-o urnă sunt 17 bile albe și 13 bile negre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila extrasă să fie neagră este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Probabilitatea = (număr de cazuri favorabile) : (număr de cazuri posibile).
Pasul 2. Cazuri posibile: numărul total de bile = 17 + 13 = 30.
Pasul 3. Cazuri favorabile: bilele negre, adică 13.
Pasul 4. P = 1330. (Fracția 1730 ar fi probabilitatea ca bila să fie albă.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) 1330.
5pExercițiul 4
4. Un biciclist parcurge în prima zi o treime din drum, în a doua zi 25 din drum, în a treia zi 14 din drum, iar în a patra zi restul. Cea mai mare distanță a parcurs-o în:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm drumul întreg cu 1. Prima zi: 13, a doua zi: 25, a treia zi: 14.
Pasul 2. Aducem fracțiile la numitorul comun 60: 13 = 2060, 25 = 2460, 14 = 1560.
Pasul 3. În primele trei zile: 2060 + 2460 + 1560 = 5960, deci în a patra zi rămâne 1 − 5960 = 160.
Pasul 4. Comparăm: 2060, 2460, 1560, 160. Cea mai mare este 2460 = 25, adică a doua zi.
Pasul 5. Răspuns corect: b) a doua zi.
5pExercițiul 5
5. Cel mai mare divizor comun al numerelor 90, 70 și 280 este egal cu:
Pasul 2. Regula: numărător = (număr format din partea neperiodică și perioadă) − (partea neperiodică) = 123 − 1 = 122; numitor = tot atâtea de 9 câte cifre are perioada (2) urmate de tot atâtea de 0 câte cifre are partea neperiodică (1): 990.
Pasul 3. Deci 0,1(23) = 122990 = 61495.
Pasul 4. Fracția 12399 = 4133 ≈ 1,24 este mai mare decât 1, deci nu poate fi egală cu 0,1(23) ≈ 0,123.
Pasul 5. Afirmația este falsă.
Pasul 6. Răspuns corect: b) Falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. Se dau punctele O, A, B din figura alăturată, astfel încât OA = 4 cm, OB = 10 cm. Atunci distanța de la O la mijlocul segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură, punctele sunt în ordinea O, A, B pe dreaptă, deci AB = OB − OA = 10 − 4 = 6 cm.
Pasul 2. Fie M mijlocul lui AB: AM = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 3. OM = OA + AM = 4 + 3 = 7 cm.
Pasul 4. (Cu coordonate: O = 0, A = 4, B = 10, iar mijlocul este (4 + 10) : 2 = 7.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 7 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, AB ∥ CD. Atunci măsura lui x este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură: din punctul de pe dreapta CD pornesc două segmente spre dreapta AB. Unghiul dintre segmentul din dreapta și dreapta CD (spre D) este de 80°, iar între cele două segmente unghiul este de 20°.
Pasul 2. Unghiul dintre segmentul din stânga și dreapta CD, măsurat spre D, este deci 80° + 20° = 100°.
Pasul 3. Atunci unghiul dintre segmentul din stânga și dreapta CD, măsurat spre C, este 180° − 100° = 80° (unghiuri adiacente suplimentare).
Pasul 4. Cum AB ∥ CD, unghiul x este altern intern cu acest unghi, deci x = 80°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 80°.
5pExercițiul 3
3. În triunghiul ABC din figura alăturată, AC = 6 cm, ∢A = 30° și aria triunghiului ABC este de 18 cm2. Atunci lungimea laturii AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fie CD înălțimea din C pe AB. În triunghiul dreptunghic ACD, unghiul A are 30°, deci cateta opusă CD este jumătate din ipotenuza AC: CD = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 2. Aria triunghiului ABC = AB · CD2 = AB · 32.
Pasul 3. Din AB · 32 = 18 obținem AB · 3 = 36, deci AB = 12 cm.
Pasul 4. (Cu formula aria = AB · AC · sin A2 = AB · 6 · 0,52 = 1,5 · AB = 18 ⇒ AB = 12 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 12 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu lungimea laturii de 8 cm și punctul E aparține segmentului CD astfel încât DE = 2 cm. Distanța de la punctul A la dreapta BE este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dacă DE = 2 cm, atunci EC = 8 − 2 = 6 cm.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic BCE (dreptunghic în C), cu teorema lui Pitagora: BE2 = BC2 + CE2 = 64 + 36 = 100, deci BE = 10 cm.
Pasul 3. Aria triunghiului ABE se poate calcula în două moduri. Cu baza AB = 8 cm: înălțimea din E pe AB este egală cu latura pătratului, 8 cm, deci aria = 8 · 82 = 32 cm2.
Pasul 4. Cu baza BE = 10 cm: aria = BE · d2 = 10 · d2 = 5 · d, unde d este distanța de la A la dreapta BE.
Pasul 5. Din 5 · d = 32 obținem d = 6,4 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 6,4 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD înscris în cercul de centru O și rază R. Dacă AB = 6 cm, atunci lungimea cercului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Diagonala pătratului de latură 6 cm este AC = 6√2 cm.
Pasul 2. Pătratul este înscris în cerc, deci diagonala lui este diametru: 2R = 6√2, adică R = 3√2 cm.
Pasul 3. Lungimea cercului este L = 2πR = 2π · 3√2 = 6√2π cm.
Pasul 4. (Aria cercului este π · R2 = 18π cm2. Valoarea 18π aparține ariei, nu lungimii cercului; aria și lungimea au unități diferite.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 6√2π cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată, DE ∥ BC, atunci x este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură: AD = 5, AE = 7, DB = x + 1 și EC = 2x − 1.
Pasul 2. Cum DE ∥ BC, aplicăm teorema lui Thales: ADDB = AEEC.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
