Pasul 2. Orice număr nenul ridicat la puterea 0 este 1, deci 20230 = 1.
Pasul 3. 1 ridicat la orice putere este 1: 12023 = 1. Iar 02 = 0.
Pasul 4. Suma: 9 + 1 + 1 + 0 = 11.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 11.
5pExercițiul 2
2. Cel mai mare număr de forma 4x25 divizibil cu 3 este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Pasul 2. Suma cifrelor lui 4x25 este 4 + x + 2 + 5 = 11 + x.
Pasul 3. Cum x este cifră (0 ≤ x ≤ 9), 11 + x poate fi 12, 15 sau 18 (multipli de 3 între 11 și 20): x ∈ {1, 4, 7}.
Pasul 4. Cel mai mare număr se obține pentru cea mai mare valoare a lui x: x = 7, adică 4725.
Pasul 5. (Verificare: 4 + 7 + 2 + 5 = 18, iar 18 se împarte exact la 3; 4825 are suma cifrelor 19, nedivizibilă cu 3; 4925 are suma 20, nedivizibilă cu 3.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 4725.
5pExercițiul 3
3. Suma numerelor întregi din intervalul (−4; 7] este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intervalul (−4; 7] conține numerele cuprinse între −4 și 7, fără −4, dar cu 7.
Pasul 2. Numerele întregi din interval sunt: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
4. Cel mai mare element al mulțimii A = {15,37; 15,(37); 15,3(7); 15,36} este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scriem fiecare număr cu mai multe zecimale: 15,37 = 15,370000…; 15,(37) = 15,373737…; 15,3(7) = 15,377777…; 15,36 = 15,360000….
Pasul 2. Toate au partea întreagă 15 și prima zecimală 3. Comparăm a doua zecimală: 7 la primele trei numere și 6 la 15,36 (deci 15,36 este cel mai mic).
Pasul 3. Pentru primele trei, comparăm a treia zecimală: 0 (la 15,37), 3 (la 15,(37)) și 7 (la 15,3(7)).
Pasul 4. Deci 15,36 < 15,37 < 15,(37) < 15,3(7), iar cel mai mare este 15,3(7).
Pasul 5. Răspuns corect: c) 15,3(7).
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Elena, Matei, Oana și Sorin, au calculat media geometrică a numerelor 16√2 și 9√8. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
6. Sofia afirmă că: „Numărul √279 este irațional”. Afirmația Sofiei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Transformăm numărul mixt în fracție: 279 = 2 · 9 + 79 = 259.
Pasul 2.√259 = √25√9 = 53.
Pasul 3.53 este un număr rațional (raport de două numere întregi), deci numărul nu este irațional.
Pasul 4. Afirmația Sofiei este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C, D și E, în această ordine, astfel încât AB = BC = CD, DE = 2AB, iar lungimea segmentului BC este egală cu 3 cm. Lungimea segmentului AE este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. BC = 3 cm și AB = BC = CD, deci AB = BC = CD = 3 cm.
Pasul 2. DE = 2 · AB = 2 · 3 = 6 cm.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, E, deci AE = AB + BC + CD + DE = 3 + 3 + 3 + 6 = 15 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 15 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile ∡AOB, ∡BOC, ∡COD cu măsurile direct proporționale cu numerele 2; 3 și 5. Știind că semidreptele OA și OD sunt opuse, măsura unghiului mai mic este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OA și OD sunt semidrepte opuse, deci ∡AOD este unghi alungit: ∡AOB + ∡BOC + ∡COD = 180°.
Pasul 2. Măsurile sunt direct proporționale cu 2, 3 și 5: ∡AOB = 2k, ∡BOC = 3k, ∡COD = 5k.
Pasul 3. 2k + 3k + 5k = 180°, adică 10k = 180°, deci k = 18°.
Pasul 4. Unghiurile au 2 · 18° = 36°, 3 · 18° = 54° și 5 · 18° = 90°. Cel mai mic este ∡AOB = 36°.
Pasul 5. (18° este valoarea lui k, nu măsura unui unghi.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 36°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu măsura unghiului ∡A = 60°. Punctele M și N aparțin laturilor AB și, respectiv, AC, astfel încât ∡AMN = 50° și AMAC = ANAB = 12. Măsura ∡ABC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din enunț, AMAC = ANAB = 12. Laturile care formează unghiul A sunt proporționale în ordinea AM ↔ AC și AN ↔ AB.
Pasul 2. Triunghiurile AMN și ACB au unghiul A comun și laturile care îl formează proporționale (AM : AC = AN : AB), deci sunt asemenea (cazul L.U.L.): △AMN ∼ △ACB, cu M ↔ C și N ↔ B.
Pasul 5. (Atenție: M este pe AB, dar unghiul de 50° corespunde vârfului C, nu vârfului B – raportul AM : AC, nu AM : AB.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 70°.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu BD = 18 cm și ∡CAD = 30°. Perimetrul rombului ABCD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc în O: BO = OD = 18 : 2 = 9 cm.
Pasul 2. Punctul O se află pe AC, deci ∡OAD = ∡CAD = 30°.
Pasul 3. În triunghiul AOD, dreptunghic în O, cateta OD = 9 cm se opune unghiului de 30°, deci ipotenuza AD = 2 · OD = 18 cm.
Pasul 4. Rombul are toate laturile egale: AB = BC = CD = DA = 18 cm.
Pasul 5. Perimetrul = 4 · 18 = 72 cm.
Pasul 6. (Verificare: triunghiul ABD are AB = AD = BD = 18 cm, deci este echilateral, iar ∡BAD = 60° = 2 · 30°.)
Pasul 7. Răspuns corect: b) 72 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A și B aparțin cercului de centru O, astfel încât măsura arcului AB este egală cu 120° și distanța de la centrul cercului la coarda AB este de 2 cm. Lungimea cercului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Arcul AB are 120°, deci unghiul la centru ∡AOB = 120°.
Pasul 2. Triunghiul AOB este isoscel (OA = OB = R). Distanța de la O la AB este înălțimea OM (M mijlocul lui AB), care este și bisectoare: ∡AOM = 120° : 2 = 60°.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic AOM: ∡OAM = 30°, iar cateta OM = 2 cm se opune unghiului de 30°, deci ipotenuza OA = 2 · OM = 4 cm. Deci R = 4 cm.
Pasul 4. (Cu trigonometrie: OM = R · cos 60° = R : 2 = 2, deci R = 4.)
6. În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată ABCDEF cu AD = AB = 4 cm. Măsura unghiului dintre dreptele BF și AD este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Prisma este dreaptă: muchiile laterale AD, BE și CF sunt paralele și au lungimea 4 cm; bazele sunt triunghiurile echilaterale ABC și DEF cu latura 4 cm.
Pasul 2. Unghiul dreptelor BF și AD este egal cu unghiul dreptelor BF și BE (AD ∥ BE): ∡EBF.
Pasul 3. Muchia EF se află în planul bazei DEF, iar BE ⊥ planul bazei, deci BE ⊥ EF: triunghiul BEF este dreptunghic în E.
Pasul 4. BE = 4 cm (muchie laterală) și EF = 4 cm (latura bazei), deci triunghiul BEF este dreptunghic isoscel și ∡EBF = 45°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 45°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
