Pasul 1. Ordinea operațiilor: mai întâi împărțirile și înmulțirile, în ordinea în care apar (de la stânga la dreapta), apoi adunările și scăderile.
Pasul 2. 7 : 7 = 1, iar 7 : 7 · 7 = 1 · 7 = 7.
Pasul 3. Calculul devine 7 − 1 + 7 = 13.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 13.
5pExercițiul 2
2. Dacă 6 muncitori pot termina o lucrare în 8 ore, atunci 12 muncitori pot termina aceeași lucrare în: Se presupune că muncitorii au aceeași productivitate și lucrează simultan, în aceleași condiții.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Mărimile „numărul de muncitori” și „timpul de lucru” sunt invers proporționale: de câte ori crește numărul de muncitori, de atâtea ori scade timpul.
Pasul 2. 12 muncitori sunt de 12 : 6 = 2 ori mai mulți decât 6 muncitori.
Pasul 3. (Atenție: 21012 ar fi rădăcina pătrată a lui 22024, nu jumătatea lui.)
Pasul 4. Răspuns corect: c) 22023.
5pExercițiul 4
4. Dacă A = {x ∈ ℝ | −3 < x ≤ 5} și B = {x ∈ ℝ | x ≤ 2}, atunci A ∩ B este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. A = (−3; 5] și B = (−∞; 2].
Pasul 2. Intersecția conține numerele aflate în ambele mulțimi: x > −3 și x ≤ 5 și x ≤ 2.
Pasul 3. Condițiile x ≤ 5 și x ≤ 2 dau x ≤ 2, deci −3 < x ≤ 2.
Pasul 4. A ∩ B = (−3; 2]. (−3 este exclus, iar 2 este inclus.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) (−3; 2].
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Ioana, Mihai, Maria și Rareș calculează media aritmetică a numerelor: a = √50 și b = |5√2 − 4√5|. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Ioana
Mihai
Maria
Rareș
5√2
4√5
5√2 − 2√5
2√5
Dintre cei patru copii, cel care a calculat corect media aritmetică a celor două numere este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.a = √50 = √25 · 2 = 5√2 ≈ 7,07.
Pasul 2. Comparăm 5√2 = √50 cu 4√5 = √80: cum 50 < 80, avem 5√2 < 4√5, deci 5√2 − 4√5 < 0.
Pasul 3. Modulul unui număr negativ este opusul lui: b = |5√2 − 4√5| = 4√5 − 5√2.
Pasul 4. Deci −3,(2) aparține intervalului (−3,5; −3,2), iar afirmația este adevărată.
Pasul 5. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B, C, D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 2BC, BC = 3CD și AC = 18 cm. Lungimea segmentului BD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AC = AB + BC.
Pasul 2. AB = 2BC, deci AC = 2BC + BC = 3BC. Din AC = 18 cm obținem BC = 18 : 3 = 6 cm.
Pasul 3. BC = 3CD, deci CD = 6 : 3 = 2 cm.
Pasul 4. BD = BC + CD = 6 + 2 = 8 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 8 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, sunt reprezentate unghiurile adiacente ABC și CBD. Dacă BE este bisectoarea unghiului ABC, BF este bisectoarea unghiului CBD, măsura unghiului ABE este egală cu 30°, iar măsura unghiului EBF este egală cu 80°, atunci măsura unghiului EBD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. BE este bisectoarea unghiului ABC, deci ∡EBC = ∡ABE = 30° (și ∡ABC = 60°).
Pasul 2. ∡EBF = ∡EBC + ∡CBF, deci 80° = 30° + ∡CBF, de unde ∡CBF = 50°.
Pasul 3. BF este bisectoarea unghiului CBD, deci ∡FBD = ∡CBF = 50° (și ∡CBD = 100°).
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC isoscel de bază BC și CE este înălțimea din C. Dacă măsura unghiului ECB este de 20°, atunci măsura unghiului BAC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. CE ⊥ AB, deci triunghiul BEC este dreptunghic în E, cu ∡ECB = 20°.
Pasul 2. ∡EBC = 90° − 20° = 70° (unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare). Deci ∡ABC = 70°.
Pasul 3. Triunghiul ABC este isoscel de bază BC, deci unghiurile de la bază sunt congruente: ∡ACB = ∡ABC = 70°.
Pasul 4. ∡BAC = 180° − 70° − 70° = 40°.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 40°.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu lungimea laturii de 8 cm și punctul M aparține segmentului CD astfel încât DM = 2 cm. Distanța de la punctul A la dreapta BM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Avem DM = 2 cm și CD = 8 cm, deci MC = 8 − 2 = 6 cm.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic MCB (dreptunghic în C): BM2 = MC2 + BC2 = 36 + 64 = 100, deci BM = 10 cm.
Pasul 3. Aria triunghiului ABM, calculată cu baza AB = 8 cm și înălțimea AD = 8 cm (M se află pe CD, paralelă cu AB): 8 · 8 : 2 = 32 cm2.
Pasul 4. Aceeași arie, calculată cu baza BM = 10 cm și înălțimea h (distanța de la A la BM): 10 · h : 2 = 32, deci h = 64 : 10 = 6,4 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 6,4 cm.
5pExercițiul 5
5. Punctele M, N și P aparțin cercului de centru O, iar NP este un diametru. Dreapta d este tangentă cercului în M, cu T pe semidreapta tangentă indicată în figură. Dacă ∠MNP = 35°, măsura unghiului TMN este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. NP este diametru al cercului, conform enunțului.
Pasul 2. ∡NMP este înscris într-un semicerc, deci ∡NMP = 90°.
Pasul 4. Unghiul dintre tangentă și coarda MN are aceeași măsură cu unghiul înscris care subîntinde arcul MN: ∡TMN = ∡MPN = 55°.
Pasul 5. (Altfel: tangenta d ⊥ OM, deci ∡TMO = 90°; în triunghiul isoscel OMN, ∡OMN = ∡ONM = 35°, iar ∡TMN = 90° − 35° = 55°.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 55°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDEFGH. Dacă perimetrul triunghiului ACH este 24√2 cm, atunci suma tuturor muchiilor cubului ABCDEFGH este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu l muchia cubului. AC, AH și CH sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci fiecare are lungimea l√2.
Pasul 2. Triunghiul ACH este echilateral, cu perimetrul 3 · l√2 = 24√2, deci l = 24 : 3 = 8 cm.
Pasul 3. Cubul are 12 muchii, deci suma lungimilor lor este 12 · 8 = 96 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 96 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
