1. Rezultatul calculului 2,42 − 2,4 este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Aliniem zecimalele, scriind 2,4 sub forma 2,40.
- Pasul 2. 2,42 − 2,40 = 0,02 (242 sutimi − 240 sutimi = 2 sutimi).
- Pasul 3. Răspuns corect: b) 0,02.
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
2. Dacă 4x − 612 = 12, atunci x este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Aducem membrul drept la numitorul 12: 12 = 612.
- Pasul 2. Fracțiile au același numitor, deci numărătorii sunt egali: 4x − 6 = 6.
- Pasul 3. 4x = 12, deci x = 3.
- Pasul 4. Verificare: 4 · 3 − 612 = 612 = 12 ✓.
- Pasul 5. Răspuns corect: a) 3.
3. Suma tuturor numerelor de forma aa este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Numerele de forma aa au cele două cifre egale: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 (cifra a nu poate fi 0).
- Pasul 2. aa = 10a + a = 11a, cu a de la 1 la 9.
- Pasul 3. Suma = 11 · (1 + 2 + … + 9) = 11 · 45 = 495.
- Pasul 4. Răspuns corect: c) 495.
4. Numerele naturale a și b sunt direct proporționale cu numerele 4 și 5, iar suma lor este egală cu 36. Atunci a · b este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Proporționalitate directă: a4 = b5 = k, deci a = 4k și b = 5k.
- Pasul 2. Suma: 4k + 5k = 9k = 36, deci k = 4.
- Pasul 3. Atunci a = 16 și b = 20.
- Pasul 4. a · b = 16 · 20 = 320.
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 320.
5. Fie A = {x ∈ ℕ | 11 ≤ x < 30}. Numărul elementelor mulțimii A este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. A conține numerele naturale de la 11 (inclus) până la 30 (exclus): 11, 12, …, 29.
- Pasul 2. Numărul lor: 29 − 11 + 1 = 19.
- Pasul 3. (Se poate calcula și ca 30 − 11 = 19, deoarece 30 nu aparține mulțimii, iar 11 aparține.)
- Pasul 4. Răspuns corect: b) 19.
6. Anastasia afirmă că: „În intervalul de numere reale (−4, 9) sunt 2 numere întregi divizibile cu 5”. Afirmația ei este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Numerele întregi din intervalul deschis (−4, 9) sunt: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
- Pasul 2. Multiplii lui 5 care pot apărea sunt: −5 (nu este în interval, −5 < −4), 0, 5, 10 (nu este în interval, 10 > 9).
- Pasul 3. Rămân 0 și 5 (0 este divizibil cu 5). Sunt deci exact 2 numere.
- Pasul 4. Afirmația este adevărată.
- Pasul 5. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C, D astfel încât C este simetricul lui A față de B, D este simetricul lui B față de C și 2AB = 30 cm. Lungimea segmentului AD este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. 2AB = 30 cm, deci AB = 15 cm.
- Pasul 2. C este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul lui AC: BC = AB = 15 cm.
- Pasul 3. D este simetricul lui B față de C, deci C este mijlocul lui BD: CD = BC = 15 cm.
- Pasul 4. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D: AD = AB + BC + CD = 15 + 15 + 15 = 45 cm.
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 45 cm.
2. În figura alăturată este reprezentat un cerc cu diametrul AB și un punct C pe cerc. Probabilitatea ca, alegând la întâmplare un unghi al triunghiului ABC, acesta să fie ascuțit este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. AB este diametru, iar C este un punct al cercului, diferit de A și B. Unghiul ACB este înscris într-un semicerc, deci ∢ACB = 90° (unghi drept).
- Pasul 2. Triunghiul ABC are suma unghiurilor 180°; fiind unul drept, celelalte două unghiuri (A și B) au suma 90°, deci fiecare este mai mic de 90°, adică ascuțit.
- Pasul 3. Cazuri posibile: 3 (cele trei unghiuri ale triunghiului). Cazuri favorabile (unghi ascuțit): 2 (unghiurile A și B).
- Pasul 4. Probabilitatea = 23.
- Pasul 5. Răspuns corect: d) 23.
3. Rombul ABCD are aria 24√3 cm2 și măsura unghiului A de 60°. Lungimea diagonalei AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Fie l latura rombului. Aria rombului este l2 · sin 60° = l2 · √32. Din l2√32 = 24√3 obținem l2 = 48.
- Pasul 2. Deci l = √48 = 4√3 cm.
- Pasul 3. Triunghiul ABD are AB = AD și ∢A = 60°, deci este echilateral: BD = 4√3 cm.
- Pasul 4. Aria rombului = AC · BD2 ⇒ AC · 4√32 = 24√3 ⇒ AC · 4√3 = 48√3 ⇒ AC = 12 cm.
- Pasul 5. (Altfel: AC = 2 · l · cos 30° = 2 · 4√3 · √32 = 12 cm.)
- Pasul 6. Răspuns corect: d) 12 cm.
4. În figura alăturată MATE este un trapez în care MT ∩ AE = {O} și AOOE = 27. Știind că TE = 14 cm, lungimea liniei mijlocii este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. În trapezul MATE bazele sunt MA și ET (MT și AE sunt diagonalele, care se intersectează în O).
- Pasul 2. Cum MA ∥ ET, triunghiurile OMA și OTE sunt asemenea (teorema fundamentală a asemănării): MATE = AOOE = 27.
- Pasul 3. MA = 27 · 14 = 4 cm.
- Pasul 4. Linia mijlocie = MA + TE2 = 4 + 142 = 9 cm.
- Pasul 5. Răspuns corect: a) 9 cm.
5. În figura alăturată este reprezentat un triunghi dreptunghic ABC și înălțimea AD. Dacă BD = 18 cm și CD = 32 cm, aria triunghiului ABC este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar AD este înălțimea pe ipotenuza BC.
- Pasul 2. BC = BD + DC = 18 + 32 = 50 cm.
- Pasul 3. Teorema înălțimii: AD2 = BD · DC = 18 · 32 = 576, deci AD = 24 cm.
- Pasul 4. Aria = BC · AD2 = 50 · 242 = 600 cm2.
- Pasul 5. (Verificare: AB2 = BD · BC = 900 ⇒ AB = 30; AC2 = CD · CB = 1600 ⇒ AC = 40; aria = 30 · 402 = 600 ✓.)
- Pasul 6. Răspuns corect: d) 600 cm2.
6. În tetraedrul regulat ABCD latura AB = 6 cm și M este mijlocul laturii BC. Atunci PΔAMD este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Tetraedrul regulat are toate muchiile egale cu 6 cm; fețele sunt triunghiuri echilaterale de latură 6 cm.
- Pasul 2. AM este mediană (și înălțime) în triunghiul echilateral ABC: AM = 6√32 = 3√3 cm.
- Pasul 3. La fel, DM este mediană (și înălțime) în triunghiul echilateral BCD: DM = 3√3 cm.
- Pasul 4. Latura AD este muchie a tetraedrului: AD = 6 cm.
- Pasul 5. PΔAMD = AM + DM + AD = 3√3 + 3√3 + 6 = 6 + 6√3 cm.
- Pasul 6. Răspuns corect: b) (6 + 6√3) cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.