Pasul 3. Numerele întregi mai mari decât 3√5 sunt 7, 8, 9, … Cel mai mic dintre ele este 7.
Pasul 4. Atenție: 6 este mai mic decât 3√5, deci nu convine.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 7.
5pExercițiul 4
4. Dacă împărțim numerele 76 și 93 la același număr natural de o cifră, obținem resturile 1 și respectiv 3. Împărțitorul este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dacă 76 dă restul 1 la împărțirea cu d, atunci d divide 76 − 1 = 75. Dacă 93 dă restul 3, atunci d divide 93 − 3 = 90.
Pasul 2. Deci d este un divizor comun al lui 75 și 90. (cmmdc(75, 90) = 15, deci d ∈ {1, 3, 5, 15}.)
Pasul 3. Restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul: 3 < d. Cum d are o singură cifră, rămâne d = 5.
Pasul 4. Verificare: 76 = 5 · 15 + 1 și 93 = 5 · 18 + 3. ✓ (Pentru 3: 93 : 3 dă restul 0; pentru 8 și 9: 76 nu dă restul 1.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 5.
5pExercițiul 5
5. Mulțimea A = {x ∈ R | −1 < 2x + 1 ≤ 5} scrisă sub formă de interval este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scădem 1 din toți cei trei membri ai inegalității duble: −1 − 1 < 2x ≤ 5 − 1, adică −2 < 2x ≤ 4.
Pasul 2. Împărțim la 2 (număr pozitiv, sensul inegalităților nu se schimbă): −1 < x ≤ 2.
Pasul 3. Capătul −1 nu aparține mulțimii (semnul <, paranteză rotundă), iar 2 aparține (semnul ≤, paranteză pătrată).
Pasul 4. Deci A = (−1; 2].
Pasul 5. Răspuns corect: a) (−1; 2].
5pExercițiul 6
6. Ina are 10 ani, iar Marina are 15 ani. Afirmația: „În urmă cu 5 ani suma vârstelor celor două fete era egală cu 20 de ani.” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În urmă cu 5 ani, Ina avea 10 − 5 = 5 ani, iar Marina avea 15 − 5 = 10 ani.
Pasul 2. Suma vârstelor de atunci: 5 + 10 = 15 ani.
Pasul 3. Cum 15 ≠ 20, afirmația este falsă. (Suma de 20 de ani nu a fost „în urmă cu 5 ani”; Ina și Marina au împreună 10 + 15 = 25 de ani acum.)
Pasul 4. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, A, B, C, D sunt puncte coliniare, astfel încât AB = 2 cm, AC = 6 cm. Punctul D este simetricul punctului A față de C. Dacă M este mijlocul segmentului BC, atunci valoarea raportului AMBD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.D este simetricul lui A față de C, deci C este mijlocul lui AD și AD = 2 · AC = 12 cm, iar CD = 6 cm.
Pasul 2.BC = AC − AB = 6 − 2 = 4 cm. M este mijlocul lui BC, deci BM = 2 cm.
Pasul 3.AM = AB + BM = 2 + 2 = 4 cm și BD = BC + CD = 4 + 6 = 10 cm (sau AD − AB = 12 − 2 = 10 cm).
Pasul 4. Raportul: AMBD = 410 = 25 = 0,4.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 0,4.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, dreptele a și b sunt paralele. Valoarea lui x este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu P punctul de pe dreapta b în care se întâlnesc cele două segmente. Segmentul din dreapta, care pornește din dreapta a, este secantă pentru dreptele paralele a și b.
Pasul 2. Unghiul de 117° (la dreapta a, spre dreapta) și unghiul format în P de acest segment cu dreapta b, spre stânga, sunt alterne interne, deci sunt congruente: unghiul dintre segmentul din dreapta și dreapta b (spre stânga) este tot 117°.
Pasul 3. În P, unghiul de 50° este format de segmentul din stânga cu dreapta b (spre stânga). Segmentul din stânga se află „între” dreapta b și segmentul din dreapta.
Pasul 4. Deci x = 117° − 50° = 67°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 67°.
5pExercițiul 3
3. Figura alăturată reprezintă trapezul dreptunghic ABCD, cu ∡A = ∡D = 90°, baza mare AB = 120 cm, baza mică CD = 40 cm și BC = 100 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AD. Aria triunghiului BMC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ducem înălțimea din C pe AB; ea intersectează AB într-un punct E cu EB = 120 − 40 = 80 cm.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic CEB: CE2 = 1002 − 802 = 10000 − 6400 = 3600, deci CE = AD = 60 cm (înălțimea trapezului).
4. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, punctul G este centrul de greutate al triunghiului. Dacă AB = 9 cm și măsura unghiului ABC este de 60°, atunci lungimea segmentului AG este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic ABC (∡A = 90°) avem ∡C = 30°, deci cateta AB (opusă unghiului de 30°) este jumătate din ipotenuză: BC = 2 · 9 = 18 cm.
Pasul 2. Mediana din A (spre mijlocul M al ipotenuzei) este jumătate din ipotenuză: AM = 18 : 2 = 9 cm.
Pasul 3. Centrul de greutate se află pe mediană la două treimi de vârf: AG = 23 · AM = 23 · 9 = 6 cm.
Pasul 4. (Figura nu este făcută la scară; contează doar informațiile din enunț.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 6 cm.
5pExercițiul 5
5. În cercul de centru O din figura alăturată, AB și CD sunt două coarde paralele, iar măsura unghiului ACD este egală cu 60°. Măsura unghiului BOC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiul înscris ∡ACD = 60° cuprinde arcul AD, deci arcul AD are 2 · 60° = 120°.
Pasul 2. Coardele AB și CD sunt paralele, deci arcele cuprinse între ele sunt congruente: arcul BC = arcul AD = 120°.
Pasul 3. Unghiul la centru ∡BOC are aceeași măsură ca arcul pe care îl cuprinde: ∡BOC = 120°.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 120°.
5pExercițiul 6
6. Diagonala cubului din figura alăturată este BD′ = 16√6 cm. Suma tuturor muchiilor cubului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Diagonala unui cub cu muchia a este a√3. Deci a√3 = 16√6.
Pasul 3. Cubul are 12 muchii, deci suma lor este 12 · a = 12 · 16√2 = 192√2 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 192√2 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La simulare, ca și la Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
