Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDEFGH. Proiecția punctului A pe planul (CFG) este punctul:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele C, F, G sunt vârfuri ale feței laterale BCGF (și B aparține aceleiași fețe), deci planul (CFG) este planul feței BCGF.
Pasul 2. Proiecția lui A pe acest plan este piciorul perpendicularei din A pe plan.
Pasul 3. Muchia AB este perpendiculară pe fața BCGF (într-un cub, muchiile care pleacă din același vârf sunt perpendiculare între ele: AB ⊥ BC și AB ⊥ BF), iar B este în planul (CFG).
Pasul 4. Deci proiecția lui A pe planul (CFG) este B.
Pasul 5. Răspuns corect: c) B.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată este reprezentat un paralelogram. Valoarea lui x este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În paralelogramul ABCD laturile AB și DC sunt paralele, iar AD este secantă.
Pasul 2. Unghiurile A și D sunt unghiuri interioare de aceeași parte a secantei, deci sunt suplimentare (într-un paralelogram, unghiurile alăturate au suma 180°).
Pasul 3.x = 180° − 60° = 120°.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 120°.
5pExercițiul 3
3. Trei obiective turistice sunt dispuse ca în figura alăturată și sunt legate între ele prin șosele AB, BC și AC. Triunghiul ABC este isoscel de bază BC, AB = 6 km, iar măsura unghiului BAC = 120°. Distanța de la obiectivul turistic C la dreapta care conține șoseaua AB este de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul este isoscel de bază BC, deci AC = AB = 6 km.
Pasul 2. Unghiul BAC este obtuz (120°), deci piciorul perpendicularei din C pe dreapta AB cade pe prelungirea lui BA, dincolo de A. Notăm acest picior cu H.
Pasul 3. Unghiul CAH este adiacent suplimentar cu BAC: 180° − 120° = 60°.
Pasul 4. În triunghiul dreptunghic CHA: CH = AC · sin 60° = 6 · √32 = 3√3 km.
Pasul 5. Distanța de la C la dreapta care conține șoseaua AB este 3√3 km.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 3√3 km.
5pExercițiul 4
4. Figura alăturată reprezintă schița unei curți în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 25 m și AD = 20 m. Dreptunghiul BEFG reprezintă casa, iar patrulaterul EFDC reprezintă o grădină. Dacă E este mijlocul segmentului BC și BG = 12 m, atunci suprafața grădinii, reprezentată de patrulaterul EFDC, este egală cu:
Pasul 2.E este mijlocul lui BC, deci BE = EC = 20 : 2 = 10 m. Casa BEFG este dreptunghi cu BG = 12 m, deci GF = BE = 10 m și FE = BG = 12 m.
Pasul 3. Grădina EFDC se împarte, prin perpendiculara din F pe DC (cu piciorul P pe DC), în dreptunghiul FECP și triunghiul dreptunghic DPF.
Pasul 4. Dreptunghiul FECP: FE = 12 m și EC = 10 m, deci aria 12 · 10 = 120 m².
Pasul 5. Triunghiul DPF: DP = DC − PC = 25 − 12 = 13 m și PF = EC = 10 m, deci aria (13 · 10) : 2 = 65 m².
Pasul 6. Aria grădinii: 120 + 65 = 185 m².
Pasul 7. (Verificare cu coordonate: E(25; 10), F(13; 10), D(0; 20), C(25; 20); formula ariei poligonului dă 185 m². Altfel: 500 − 120 − 195 = 185, unde 195 m² este aria trapezului AGFD.)
Pasul 8. Răspuns corect: d) 185 m².
5pExercițiul 5
5. Punctele A, B și C se află pe cercul de centru O și rază 5 cm. Punctele M și N sunt mijloacele coardelor AB și, respectiv, AC. Dacă AB = 6 cm, iar punctele C, O și B sunt coliniare, atunci perimetrul patrulaterului OMAN este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.C, O, B sunt coliniare, deci BC este diametru: BC = 2 · 5 = 10 cm. Unghiul înscris BAC subîntinde diametrul, deci este de 90°.
Pasul 2. Din teorema lui Pitagora în triunghiul ABC: AC² = 10² − 6² = 64, deci AC = 8 cm.
Pasul 3.O, M și N sunt mijloacele laturilor BC, AB, respectiv AC, deci OM și ON sunt linii mijlocii în triunghiul ABC: OM = AC : 2 = 4 cm, ON = AB : 2 = 3 cm; AM = AB : 2 = 3 cm, AN = AC : 2 = 4 cm.
Pasul 4. (OMAN este dreptunghi, cu laturile 3 cm și 4 cm.)
Pasul 5. Perimetrul: 3 + 4 + 3 + 4 = 14 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 14 cm.
5pExercițiul 6
6. Un suport pentru umbrele are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile bazei de 16 cm și 12 cm, iar înălțimea de 48 cm. Dimensiunea maximă a unei umbrele care intră în întregime în suport este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cea mai lungă umbrelă care intră în suport se așază pe diagonala paralelipipedului.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
