Pasul 2. (Altfel: 1,25 = 125100 = 54, după simplificare cu 25.)
Pasul 3. Singura fracție egală cu 1,25 este 54.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 54.
5pExercițiul 5
5. Andrei, Barbu, Călin și Dan au calculat media geometrică a numerelor a = √8 + 7√2 și b = 2√50 − √162. Rezultatele obținute de ei sunt trecute în tabelul următor:
Andrei
Barbu
Călin
Dan
5√2
3
6
3√2
Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scoatem factorii de sub radical: √8 = 2√2, deci a = 2√2 + 7√2 = 9√2.
Pasul 2.√50 = 5√2 și √162 = 9√2, deci b = 2 · 5√2 − 9√2 = 10√2 − 9√2 = √2.
Pasul 3. Media geometrică: √a · b = √9√2 · √2 = √9 · 2 = √18.
Pasul 4.√18 = √9 · 2 = 3√2.
Pasul 5. Răspuns corect: d) Dan.
5pExercițiul 6
6. În tabelul următor este prezentată situația statistică a notelor obținute de elevii unei clase la un test de matematică.
Nota la test
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Număr de elevi
0
0
1
4
2
3
5
6
4
3
Conform tabelului, numărul elevilor care au luat note mai mari decât 5 la testul de matematică este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. „Note mai mari decât 5” înseamnă notele 6, 7, 8, 9 și 10 (nota 5 nu se numără).
Pasul 3. (Verificare: în total sunt 1 + 4 + 2 + 3 + 5 + 6 + 4 + 3 = 28 de elevi; cei cu note ≤ 5 sunt 1 + 4 + 2 = 7, iar 28 − 7 = 21. Varianta d) 23 s-ar obține dacă am număra și cei 2 elevi cu nota 5.)
Pasul 4. Răspuns corect: c) 21.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine. Dacă punctul B este mijlocul segmentului AC, punctul C este mijlocul segmentului AD și AB = 8 cm, atunci lungimea segmentului BD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.B este mijlocul lui AC, deci AC = 2 · AB = 2 · 8 = 16 cm.
Pasul 2.C este mijlocul lui AD, deci AD = 2 · AC = 2 · 16 = 32 cm.
Pasul 3.BD = AD − AB = 32 − 8 = 24 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 24 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate două unghiuri adiacente suplimentare, ∢AOC și ∢COB, astfel încât măsura unghiului BOC este egală cu 60°. Dacă OD este bisectoarea unghiului BOC, atunci măsura unghiului AOD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiurile AOC și COB sunt adiacente suplimentare, deci A, O, B sunt coliniare și ∢AOC + ∢COB = 180°. Atunci ∢AOC = 180° − 60° = 120°.
Pasul 2.OD este bisectoarea unghiului BOC, deci ∢COD = ∢DOB = 60° : 2 = 30°.
Pasul 3. Raza OC se află în interiorul unghiului AOD, deci ∢AOD = ∢AOC + ∢COD = 120° + 30° = 150°.
3. Terenul din figura alăturată are forma unui paralelogram ABCD cu măsura unghiului ADB de 90° și laturile AB = 100 m și BC = 60 m. Distanța dintre laturile AB și DC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale: AD = BC = 60 m.
Pasul 2. În triunghiul ADB, dreptunghic în D: BD = √AB² − AD² = √100² − 60² = √6400 = 80 m.
Pasul 3. Distanța dintre dreptele paralele AB și DC este lungimea înălțimii DE a triunghiului ADB din vârful D pe ipotenuza AB.
Pasul 4. Calculăm aria triunghiului în două moduri: (AB · DE) : 2 = (AD · BD) : 2, deci DE = (60 · 80) : 100 = 48 m.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 48 m.
5pExercițiul 4
4. Rombul ABCD din figura alăturată are perimetrul de 12 cm și diagonala BD de 3 cm. Măsura unghiului ABC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Rombul are 4 laturi egale, deci AB = 12 : 4 = 3 cm.
Pasul 2. Atunci în triunghiul ABD avem AB = AD = BD = 3 cm, deci este echilateral și ∢ABD = 60°.
Pasul 3. Diagonala BD este bisectoarea unghiului ABC (în romb diagonalele sunt și bisectoare), deci ∢ABC = 2 · 60° = 120°.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 120°.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este desenat un triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza BC = 12 cm și măsura unghiului C de 30°. Dacă AD este înălțimea din A a triunghiului ABC, atunci raportul dintre aria triunghiului ABD și aria triunghiului ACD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic ABC (∢A = 90°) cu ∢C = 30°: cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză, deci AB = 12 : 2 = 6 cm.
Pasul 2. Teorema catetei: AB² = BD · BC, deci 36 = BD · 12 și BD = 3 cm. Atunci DC = 12 − 3 = 9 cm.
Pasul 3. Triunghiurile ABD și ACD au aceeași înălțime AD, deci raportul ariilor este egal cu raportul bazelor: BD : DC.
Pasul 4. Raportul = 39 = 13.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 13.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este desenată o cutie în formă de paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu dimensiunile AB = 4 dm, BC = 3 dm și AA′ = 12 dm. Suma lungimilor tuturor muchiilor cutiei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Un paralelipiped dreptunghic are 12 muchii: 4 muchii de lungime AB, 4 de lungime BC și 4 de lungime AA′.
Pasul 3. (Varianta a) 19 dm este doar suma celor trei dimensiuni, iar b) 38 dm ar fi cu 2 · 19.)
Pasul 4. Răspuns corect: d) 76 dm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.