Pasul 3. Toate au partea întreagă 2. Prima zecimală: 4, 4, 2, 4 → 2,22 este cel mai mic. Pentru celelalte trei comparăm a doua zecimală: 4 (la 2,(4)), 2 (la 2,4(2)), 2 (la 2,(42)).
Pasul 4. Cea mai mare a doua zecimală o are 2,4444…, deci 2,(4) este cel mai mare.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 2,(4).
5pExercițiul 5
5. Dacă a = √5 + √3 și b = √15, atunci a2 − 2b + 1 este egal cu:
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctul M este mijlocul segmentului AB, N este mijlocul segmentului BC, iar C este simetricul punctului A față de punctul B. Valoarea raportului ANMN este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.C este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul lui AC și AB = BC. Notăm AB = BC = 2a.
Pasul 2. Mijlocul M al lui AB: MB = a. Mijlocul N al lui BC: BN = a.
Pasul 3.AN = AB + BN = 2a + a = 3a. MN = MB + BN = a + a = 2a.
Pasul 4. Raportul: ANMN = 3a2a = 32.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 32.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, unghiurile ACD și DCB sunt adiacente suplimentare. Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ACD și DCB este:
Pasul 2. Bisectoarea fiecărui unghi îl împarte în două unghiuri egale. Unghiul dintre cele două bisectoare este jumătate din ∢ACD plus jumătate din ∢DCB.
3. Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de trapez ABCD cu aria de 144 m2 și lungimea liniei mijlocii de 36 m. Distanța dintre laturile AB și DC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Linia mijlocie a unui trapez este media aritmetică a bazelor: (AB + DC) : 2 = 36 m, deci AB + DC = 72 m.
Pasul 2. Aria trapezului = (AB + DC) · h2 = linia mijlocie · h, deci 36 · h = 144.
Pasul 3.h = 144 : 36 = 4 m.
Pasul 4. Distanța dintre laturile paralele AB și DC este chiar înălțimea trapezului: 4 m.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 4 m.
5pExercițiul 4
4. Dreptunghiul EFGH din figura alăturată are lungimea EF = 15 cm și lățimea FG = 5√3 cm. Dacă HF ∩ EG = {O}, măsura unghiului GOF este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic EFG (unghi drept în F): tg ∢FEG = FGEF = 5√315 = √33, deci ∢FEG = 30°.
Pasul 2. Diagonalele dreptunghiului sunt egale și se înjumătățesc, deci OE = OF = OG. Triunghiul OEF este isoscel cu ∢OEF = ∢OFE = 30°, deci ∢EOF = 180° − 30° − 30° = 120°.
Pasul 3. Punctele E, O, G sunt coliniare, deci ∢GOF și ∢EOF sunt adiacente suplimentare: ∢GOF = 180° − 120° = 60°.
Pasul 4. (Altfel: EG = √152 + (5√3)2 = √300 = 10√3, deci OF = OG = 5√3 = FG. Triunghiul OFG este echilateral și ∢GOF = 60°.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) 60°.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată ABC este un triunghi dreptunghic în A cu măsura unghiului B de 30°. Dacă lungimea bisectoarei CM este egală cu 10 cm, atunci lungimea catetei AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic ABC: ∢B = 30°, deci ∢ACB = 90° − 30° = 60°.
Pasul 2.CM este bisectoare, deci ∢ACM = 60° : 2 = 30°.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic CAM (unghi drept în A): cateta AC = CM · cos 30° = 10 · √32 = 5√3 cm.
Pasul 4. În triunghiul ABC: tg B = ACAB, adică √33 = 5√3AB, deci AB = 5√3 · √3 = 15 cm.
Pasul 5. (Altfel: în triunghiul ABC cu unghi de 30°, ipotenuza BC = 2 · AC = 10√3, iar AB = BC · cos 30° = 10√3 · √32 = 15 cm.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 15 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată ABCD este un tetraedru regulat cu aria feței ABC egală cu 9√3 dm2. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fața ABC este triunghi echilateral de latură l (toate muchiile tetraedrului regulat sunt egale).
Pasul 2. Aria triunghiului echilateral: l2√34 = 9√3, deci l2 = 36 și l = 6 dm.
Pasul 3. Tetraedrul are 6 muchii, toate egale cu 6 dm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.