Pasul 1. Ordinea operațiilor: întâi împărțirea, apoi scăderea.
Pasul 2. 10 : (−2) = −5.
Pasul 3. 10 − (−5) = 10 + 5 = 15.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 15.
5pExercițiul 2
2. Scrierea fracției zecimale 1,(3) sub formă de fracție ordinară ireductibilă este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Perioada (cifra 3) începe imediat după virgulă, deci este o fracție periodică simplă: 1,(3) = 1 + 0,(3).
Pasul 2. Numărătorul se obține scăzând partea care nu se repetă din numărul scris fără virgulă și fără paranteză: 13 − 1 = 12. Numitorul are atâtea cifre de 9 câte cifre are perioada, adică 9.
Pasul 1. Cifrele sunt 0, 1, 2, …, 9. Un număr este prim dacă are exact doi divizori naturali: 1 și el însuși.
Pasul 2. Cifrele prime sunt 2, 3, 5 și 7 (0 și 1 nu sunt prime, iar 4, 6, 8, 9 sunt compuse).
Pasul 3. Suma: 2 + 3 + 5 + 7 = 17.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 17.
5pExercițiul 4
4. Patru elevi, Dan, Ana, Ion și Lara, au calculat suma numerelor a și b, știind că a − b = 4 și a2 − b2 = 36. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Dan
Ana
Ion
Lara
9
144
40
32
Dintre cei patru elevi, elevul care a răspuns corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Folosim formula diferenței de pătrate: a2 − b2 = (a − b)(a + b).
Pasul 2. Înlocuim: 36 = 4 · (a + b).
Pasul 3. Deci a + b = 36 : 4 = 9.
Pasul 4. (Verificare: a = 6,5 și b = 2,5 dau a − b = 4 și 42,25 − 6,25 = 36 ✓.)
Pasul 5. Răspunsul corect este 9, obținut de Dan.
Pasul 6. Răspuns corect: a) Dan.
5pExercițiul 5
5. Rezultatul calculului (sin 45° + cos 45°)2 este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Valorile din tabel: sin 45° = cos 45° = √22.
Pasul 2. Suma: sin 45° + cos 45° = √22 + √22 = √2.
Pasul 3. Ridicăm la pătrat: (√2)2 = 2.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 2.
5pExercițiul 6
6. O serbare a început la ora 12:20 și s-a finalizat la ora 13:50, în aceeași zi. Un elev afirmă că: „Serbarea a avut o durată de o oră și jumătate”. Știind că serbarea nu a avut pauză, afirmația elevului este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. De la 12:20 la 13:20 trece o oră.
Pasul 2. De la 13:20 la 13:50 trec încă 30 de minute.
Pasul 3. Durata totală: 1 h 30 min = o oră și jumătate.
Pasul 4. Afirmația elevului este adevărată.
Pasul 5. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura următoare punctele A, B, C, D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât B este mijlocul lui AC, iar punctul D este simetricul punctului B față de punctul C. Dacă AC = 8 cm, atunci lungimea segmentului BD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.B este mijlocul lui AC: BC = AC : 2 = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 2.D este simetricul lui B față de C, deci C este mijlocul lui BD.
Pasul 3. Atunci BD = 2 · BC = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 8 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura următoare unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt adiacente complementare, iar semidreapta OD este bisectoarea unghiului ∡AOB. Dacă măsura unghiului ∡BOC este egală cu 22°, atunci măsura unghiului ∡AOD este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiuri complementare înseamnă că suma lor este 90°: ∡AOB + ∡BOC = 90°.
Pasul 2. ∡AOB = 90° − 22° = 68°.
Pasul 3.OD este bisectoarea lui ∡AOB: ∡AOD = 68° : 2 = 34°.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 34°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC de bază BC. Dacă CB = 8 cm, ∡B = 30°, D mijlocul laturii BC, atunci distanța de la punctul D la dreapta AB are lungimea de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.D este mijlocul lui BC: BD = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 2. Distanța de la D la dreapta AB este lungimea perpendicularei DE duse din D pe AB (E ∈ AB).
Pasul 3. Triunghiul BED este dreptunghic în E și are ∡B = 30°. Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: DE = BD : 2 = 4 : 2 = 2 cm.
Pasul 4. (Sau: DE = BD · sin 30° = 4 · 12 = 2 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: d) 2 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată, OA și OC sunt raze, punctul B nu aparține cercului C(O, 3 cm), iar AB și BC sunt tangente cercului. Dacă OB = 6 cm, atunci suma lungimilor tangentelor AB și BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Tangenta într-un punct al cercului este perpendiculară pe raza dusă în acel punct: OA ⊥ AB, deci triunghiul OAB este dreptunghic în A, cu OA = 3 cm și ipotenuza OB = 6 cm.
Pasul 2. Teorema lui Pitagora: AB2 = OB2 − OA2 = 36 − 9 = 27, deci AB = √27 = 3√3 cm.
Pasul 3. Tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt egale: BC = AB = 3√3 cm.
Pasul 4. Suma: AB + BC = 3√3 + 3√3 = 6√3 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 6√3 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB = 12 cm, BC = 8 cm și punctele M și P mijloacele laturilor AB, respectiv BC. Aria triunghiului PDM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Aria dreptunghiului: 12 · 8 = 96 cm2. Aria triunghiului PDM se obține scăzând din aria dreptunghiului cele trei triunghiuri dreptunghice din colțuri.
6. Se dă o prismă patrulateră regulată cu suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 64 cm și aria bazei egală cu 25 cm2. Aria unei fețe laterale este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Prisma patrulateră regulată are la bază un pătrat de latură l și muchii laterale de lungime h. Ea are 8 muchii ale bazelor (de lungime l) și 4 muchii laterale (de lungime h).
Pasul 2. Aria bazei: l2 = 25, deci l = 5 cm.
Pasul 3. Suma muchiilor: 8l + 4h = 64, deci 40 + 4h = 64, de unde 4h = 24 și h = 6 cm.
Pasul 4. Fiecare față laterală este un dreptunghi cu dimensiunile l = 5 cm și h = 6 cm: aria = 5 · 6 = 30 cm2.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 30 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.