5. Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, au calculat produsul numerelor a = |√2 − √3| și b = |√3 + √2|, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Ioana
Mara
Petrică
Ștefan
−1
5 − 2√6
1
5 + 2√6
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Valoarea absolută a oricărui număr real este nenegativă. Cum √2 < √3, avem √2 − √3 < 0, deci a = |√2 − √3| = √3 − √2.
Pasul 2. Numărul √3 + √2 este pozitiv, deci b = √3 + √2.
Pasul 5. (Atenție: produsul fără modul, (√2 − √3)(√3 + √2) = −1, este rezultatul Ioanei, dar modulul este cel care se aplică aici.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) Petrică.
5pExercițiul 6
6. O mașină se deplasează în intervalul orar 12 : 56 − 14 : 26 cu o viteză medie de 80 km/h. Mihai afirmă că, în acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu 200 km. Afirmația lui Mihai este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Durata deplasării: de la 12:56 la 14:26. De la 12:56 la 13:56 sunt 60 de minute, apoi de la 13:56 la 14:26 sunt încă 30 de minute.
Pasul 2. Durata este 1 h 30 min = 1,5 h.
Pasul 3. Distanța = viteză · timp = 80 km/h · 1,5 h = 120 km.
Pasul 4. Mihai afirmă 200 km, dar distanța este 120 km, deci afirmația este falsă.
Pasul 5. (200 km ar fi corect pentru o durată de 2 h 30 min.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 7 cm și BC = 9 cm. Știind că punctul M este mijlocul segmentului AB, iar punctul N este mijlocul segmentului BC, lungimea segmentului MN este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. M este mijlocul lui AB, deci MB = AB : 2 = 7 : 2 = 3,5 cm.
Pasul 2. N este mijlocul lui BC, deci BN = BC : 2 = 9 : 2 = 4,5 cm.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea M, B, N, deci MN = MB + BN = 3,5 + 4,5 = 8 cm.
2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf AOC și BOD. Măsura unghiului AOB este egală cu 120°. Măsura unghiului BOD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele A, O, D sunt coliniare, deci ∡AOB și ∡BOD sunt adiacente suplimentare (suma lor este 180°).
Pasul 2. ∡BOD = 180° − ∡AOB = 180° − 120° = 60°.
Pasul 3. (Verificare: ∡AOC și ∡BOD sunt opuse la vârf, deci congruente: ∡AOC = 60°, iar ∡AOB + ∡AOC = 120° + 60° = 180°, deoarece B, O, C sunt coliniare ✓.)
Pasul 4. Răspuns corect: b) 60°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 6 cm și măsura unghiului B este egală cu 60°. Lungimea segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul ABC, ∡A = 90° și ∡B = 60°, deci ∡C = 180° − 90° − 60° = 30°.
Pasul 2. Teorema unghiului de 30°: cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.
Pasul 3. AB este opusă unghiului C = 30°, deci AB = BC2 = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 4. (Altfel: cos B = ABBC ⇒ AB = BC · cos 60° = 6 · 12 = 3 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 3 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AD = BD și cu măsura unghiului DAB egală cu 45°. Măsura unghiului CBD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. AD = BD, deci triunghiul ABD este isoscel cu baza AB, iar ∡DBA = ∡DAB = 45°.
Pasul 3. ABCD este paralelogram, deci AD ∥ BC. Unghiurile ∡ADB și ∡CBD sunt alterne interne (secanta BD), deci congruente.
Pasul 4. ∡CBD = ∡ADB = 90°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 90°.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul AMB, cu AB = 8√2 cm, înscris într-un cerc care are raza egală cu 8 cm. Măsura unghiului AMB este egală cu: Punctul M aparține arcului mare AB.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fie O centrul cercului: OA = OB = 8 cm (raze), iar AB = 8√2 cm.
Pasul 2. Verificăm: OA2 + OB2 = 64 + 64 = 128, iar AB2 = (8√2)2 = 64 · 2 = 128. Reciproca teoremei lui Pitagora ⇒ triunghiul OAB este dreptunghic în O, deci ∡AOB = 90°.
Pasul 3. Unghiul înscris ∡AMB subîntinde arcul mic AB, care are 90° (egal cu unghiul la centru ∡AOB).
Pasul 4. ∡AMB = 90° : 2 = 45°.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 45°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept care are secțiunea axială un triunghi echilateral cu înălțimea egală cu 6 cm. Generatoarea conului are lungimea egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Secțiunea axială este un triunghi echilateral; notăm latura lui cu l (aceasta este și generatoarea conului).
Pasul 2. Înălțimea triunghiului echilateral este h = l√32.
Pasul 3. Din l√32 = 6 ⇒ l = 12√3 = 12√33 = 4√3 cm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.