Pasul 1. Inversul unui număr nenul a este 1a, adică produsul dintre număr și invers este 1.
Pasul 2. Inversul fracției 23 se obține inversând numărătorul cu numitorul: 32.
Pasul 3. Verificare: 23 · 32 = 66 = 1 ✓.
Pasul 4. (Opusul lui 23 ar fi −23; nu confunda inversul cu opusul.)
Pasul 5. Răspuns corect: d) 32.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Elena, Maria, George și Mihai, au calculat media geometrică a numerelor x = 3 − 2√2 și y = 3 + 2√2 și au obținut următoarele rezultate:
Elena
Maria
George
Mihai
√17
√2
1
3
Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media geometrică a numerelor x și y este √x · y.
Pasul 2.x · y = (3 − 2√2)(3 + 2√2) = 32 − (2√2)2 (formula (a − b)(a + b) = a2 − b2).
Pasul 3. (2√2)2 = 4 · 2 = 8, deci x · y = 9 − 8 = 1.
Pasul 4. Media geometrică = √1 = 1.
Pasul 5. Rezultatul 1 a fost obținut de George.
Pasul 6. Răspuns corect: c) George.
5pExercițiul 6
6. Afirmația „Numărul 4 este mai mare decât numărul 2√5.” este:
Pasul 3. Comparăm: 16 < 20, deci √16 < √20, adică 4 < 2√5.
Pasul 4. (Aproximativ: 2√5 ≈ 4,47 > 4.)
Pasul 5. Numărul 4 este mai mic decât 2√5, deci afirmația este falsă.
Pasul 6. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată este reprezentat segmentul AB cu lungimea de 5 cm. Punctul C este simetricul punctului B față de punctul A, iar punctul D este simetricul punctului C față de punctul B. Lungimea segmentului CD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. C este simetricul lui B față de A, deci A este mijlocul segmentului BC: AC = AB = 5 cm, iar BC = 10 cm.
Pasul 2. D este simetricul lui C față de B, deci B este mijlocul segmentului CD.
Pasul 3. Atunci BD = BC = 10 cm și CD = CB + BD = 10 + 10 = 20 cm.
Pasul 4. (Altfel: CD = 2 · BC = 2 · 2 · AB = 4 · 5 = 20 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: d) 20 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, unghiurile AOC și BOD sunt opuse la vârf. Măsura unghiului AOC este egală cu 30°, iar semidreapta OE este bisectoarea unghiului BOC. Măsura unghiului DOE este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele A, O, B sunt coliniare, deci ∡AOC și ∡BOC sunt adiacente suplimentare: ∡BOC = 180° − 30° = 150°.
Pasul 2. OE este bisectoarea unghiului BOC, deci ∡BOE = ∡EOC = 150° : 2 = 75°.
Pasul 3. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: ∡BOD = ∡AOC = 30°.
Pasul 4. Semidreapta OB este în interiorul unghiului DOE, deci ∡DOE = ∡DOB + ∡BOE = 30° + 75° = 105°.
Pasul 5. (Verificare: C, O, D sunt coliniare și ∠COE + ∠DOE = 75° + 105° = 180° ✓.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 105°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB = 12 cm, BC = 13 cm și AC = 7 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele segmentelor AB, BC, respectiv AC. Perimetrul triunghiului MNP este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. MN, NP și MP sunt linii mijlocii în triunghiul ABC; fiecare este egală cu jumătate din latura paralelă cu ea.
Pasul 4. (Altfel: perimetrul lui MNP este jumătate din perimetrul lui ABC: (12 + 13 + 7) : 2 = 32 : 2 = 16 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 16 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat patrulaterul ABCD. Dreapta AC este perpendiculară pe dreapta BC și dreapta AD este perpendiculară pe dreapta BD. Punctul M este mijlocul segmentului AB și măsura unghiului DCM este egală cu 40°. Măsura unghiului CMD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiurile ACB (dreptunghic în C) și ADB (dreptunghic în D) au aceeași ipotenuză AB, iar M este mijlocul ei.
Pasul 2. Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: MC = MA = MB și MD = MA = MB.
Pasul 3. Deci MC = MD, adică triunghiul MCD este isoscel cu baza CD, iar ∡MDC = ∡MCD = 40°.
Pasul 5. (Cu alte cuvinte, punctele A, B, C, D sunt pe cercul de centru M și diametru AB.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 100°.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru BC. Punctul A aparține cercului, astfel încât măsura arcului mic AC este egală cu 120°. Măsura unghiului ACB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. BC este diametru, deci arcul BC (semicercul) măsoară 180°.
Pasul 2. Arcul AB = 180° − arcul AC = 180° − 120° = 60° (A este pe același semicerc, între C și B).
Pasul 3. Unghiul înscris ∡ACB are ca măsură jumătate din arcul pe care îl subîntinde, adică arcul AB: ∡ACB = 60° : 2 = 30°.
6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic VAB și raza bazei conului AO = 4 cm. Generatoarea acestui con are lungimea egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Secțiunea axială VAB este triunghi isoscel (VA = VB) și dreptunghic în V; ipotenuza AB este diametrul bazei: AB = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 2. Înălțimea VO este mediană pe ipotenuză: VO = AB2 = 4 cm.
Pasul 3. Generatoarea VA din triunghiul dreptunghic VOA: VA2 = VO2 + AO2 = 42 + 42 = 32.
Pasul 4. VA = √32 = √16 · 2 = 4√2 cm.
Pasul 5. (Altfel: în triunghiul dreptunghic isoscel VAB, cu ipotenuza AB = 8 cm, catetele sunt VA = 8√2 = 4√2 cm.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 4√2 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.